Question

如圖1，已知雙曲線y1=

k

x

(k＞0)與直線y₂=k'x交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．試解答下列問(wèn)題：
（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；當(dāng)x滿足：______時(shí)，y₁＞y₂；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線y=

k

x

(k＞0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，如圖2所示．
①四邊形APBQ一定是______；
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，求四邊形APBQ的面積；
③設(shè)點(diǎn)A、P的橫坐標(biāo)分別為m、n，四邊形APBQ可能是矩形嗎？若可能，求m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）因?yàn)檎�比例函�?shù)與反比例都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（-4，-2）；
由兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，2），可知雙曲線的解析式為y₁=

8

x

，直線的解析式為y₂=

1

2

x，
雙曲線在每一象限y隨x的增大而減小，直線y隨x的增大而增大，
所以當(dāng)x＜-4或0＜x＜4時(shí)，y₁＞y₂．

（2）①∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴OA=OB，OP=OQ，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知APBQ一定是平行四邊形．
②∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）
∴雙曲線為y=

3

x

，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
過(guò)A作x軸的垂線CD交x軸于C，可得直角梯形OPDC，過(guò)P作PD⊥DC，垂足為D，
用直角梯形的面積減去直角三角形的面積可得三角形POA的面積為4，再用4×4得四邊形APBQ為16．

③∵當(dāng)mn=k時(shí)，此時(shí)A（m，n），P（n，m），
∴OA=OP，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，
∴四邊形APBQ是矩形．