Question

【題目】閱讀下面材料：

觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題.在銳角中，、、的對邊分別是a、b、c，過A作于D（如圖），則，，即，，于是，即.同理有：，，所以.

即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素.根據上述材料，完成下列各題.

（1）如圖，中，，，，則；

（2）如圖，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上（如圖），求此時貨輪距燈塔A的距離AB.

（3）在（2）的條件下，試求75°的正弦值.（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）20；（2）15海里；（3）.

【解析】

（1）根據材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，寫出比例關系，代入數值即可求得AB的值.

（2）此題可先由速度和時間求出BC的距離，再由各方向角得出∠A的角度，過B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的長，由勾股定理求出AB即可；
（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，過點C作AC的垂線BD，構造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的長，進而可求出sin75°的值．

解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，則∠A=60°，

∵ =，

∴ =，

即 =，

解得：AB=20.

（2）如圖，

依題意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，= 即= ，
解之得：AB=15．

答：貨輪距燈塔的距離AB=15海里．
（3）過點B作AC的垂線BM，垂足為M.

在直角三角形ABM中，∠A=45°，AB=15，
所以AM=15，在直角三角形BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，

所以AC=15+15，

由題意得， ＝，sin75°= ．