Question

【題目】概念學習

規定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．

理解概念

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請寫出圖中兩對“等角三角形”．

概念應用

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割線，直接寫出∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】（1）△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；（2）見解析；（3）∠ACB的度數為111°或84°或106°或92°

【解析】

（1）根據題中給出的“等角三角形”的定義即可解答；
（2）通過三角形內角和定理求出∠ACB為80°，然后再由角平分線的定義可得到∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°，最后通過 “等角分割線”的定義進行證明；
（3）需分情況討論，當△ACD是等腰三角形時DA=DC或DA=AC，當△BCD是等腰三角形時DB=BC或DC=BD，然后根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理進行求解．

解：（1）△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；

（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°

∵CD為角平分線，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，

∴CD＝DA，

∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，

∴∠BDC＝∠ACB，

∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，

∠B＝∠B，

∴CD為△ABC的等角分割線；

（3）當△ACD是等腰三角形，DA＝DC時，∠ACD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，

當△ACD是等腰三角形，DA＝AC時，∠ACD＝∠ADC＝69°，

∠BCD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝69°+42°＝111°，

當△BCD是等腰三角形，DC＝BD時，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，

∴∠ACB＝92°，

當△BCD是等腰三角形，DB＝BC時，∠BDC＝∠BCD，

設∠BDC＝∠BCD＝x，

則∠B＝180°﹣2x，

則∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，

由題意得，180°﹣2x+42°＝x，

解得，x＝74°，

∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，

∴∠ACB＝106°，

∴∠ACB的度數為111°或84°或106°或92°．