Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，對角線AC、BD相交于點O，將對角線AC所在的直線繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）后得直線l，直線l與AD、BC兩邊分別相交于點E和點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）當(dāng)α=30°時，求線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AO=OC，

∴ ，

∴AE=CF，OE=OF，

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF

（2）解：當(dāng)α=30°時，即∠AOE=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠OAD=60°，

∴∠AEO=90°，

在Rt△AOB中，

sin∠ABO= = = ，

∴AO=1，

在Rt△AEO中，

cos∠AOE=cos30°= = ，

∴OE= ，

∴EF=2OE= ．

【解析】（1）首先證明AE=CF，OE=OF，結(jié)合AO=CO，利用SSS證明△AOE≌△COF；（2）首先畫出α=30°時的圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的長，進而得到EF的長．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，了解①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．