Question

【題目】解答題
（1）如圖1，在△ABC中，AD是中線，分別過點B、C作AD及其延長線的垂線BE、CF，垂足分別為點E、F．求證：BE=CF．

（2）如圖2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB為直徑的圓與AC相切，與邊BC交于點D，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵分別過點B、C作AD及其延長線的垂線BE、CF，垂足分別為點E、F，

∴∠E=∠CFD=90°，

∵AD是中線，

∵BD=CD，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴BE=CF

（2）解：∵AC是圓的切線，

∴∠BAC=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= = ，

∵AB為圓的直徑，

∴∠ADB=90°，

即AD⊥BC，

由三角形面積公式得： BC×AD= AC×BC，

× ×AD= ×1×2，

解得：AD=

【解析】（1）求出△BED≌△CFD，根據全等三角形的性質得出即可；（2）求出△CAB是直角三角形和求出AD⊥BC，根據三角形面積公式求出即可．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑即可以解答此題．