Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B在x軸上，點C在y軸上，AB＝BC＝5，AC＝8，D為線段AB上一動點，以CD為邊在x軸上方作正方形CDEF，連接AE．

（1）若點B的坐標為(m，0)，則m＝　 　；

（2）當BD＝　 　時，EA⊥x軸；

（3）當點D由點B運動到點A過程中，點F經過的路徑長為　 　；

（4）當△ADE面積最大時，求出BD的長及△ADE面積最大值．

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）；（3）5；（4）BD＝，△ADE面積最大值為

【解析】

（1）由勾股定理可得64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，可求m的值；

（2）由勾股定理可求CO的長，由“AAS”可證△AED≌△ODC，可得AD＝CO，即可求解；

（3）由“AAS”可證△CFH≌△CDO，可得CH＝CO＝，FH＝DO，可得點F在FH上移動，由特殊位置可求解；

（4）過點E作EN⊥x軸于點N，由三角形的面積公式可得△ADE面積＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，由二次函數的性質可求解．

解：（1）∵點B的坐標為（m，0），

∴BO＝﹣m，

∵CO2＝AC2﹣AO2，CO2＝CB2﹣BO2，

∴64﹣（5﹣m）2＝25﹣（﹣m）2，

∴m＝﹣，

故答案為：﹣；

（2）∵點B的坐標為（﹣，0），

∴BO＝，

∴CO＝＝，

∵EA⊥x軸，

∴∠EAD＝90°，

∴∠EDA+∠AED＝90°，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD＝DE，∠EDC＝90°，

∴∠EDA+∠CDO＝90°，

∴∠AED＝∠CDO，

∵∠EAD＝∠COD，ED＝CD，

∴△AED≌△ODC（AAS）

∴AE＝DO，AD＝CO＝，

∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，

∴當BD＝時，EA⊥x軸；

故答案為：；

（3）如圖，過點C作CH⊥y軸，過點F作FH⊥CH，交點為H，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CD＝CF，∠FCD＝90°，

∴∠FCH+∠DCH＝90°，

又∵∠DCO+∠HCD＝90°，

∴∠FCH＝∠DCO，

又∵FC＝DC，∠CHF＝∠DOC＝90°，

∴△CFH≌△CDO（AAS）

∴CH＝CO＝，FH＝DO，

∴點F在FH上移動，

當點D與點B重合時，FH＝BO＝，

當點D與點BC重合時，FH＝AO＝AB+BO＝5+＝，

∴當點D由點B運動到點A過程中，點F經過的路徑長為﹣＝5，

故答案為：5；

（4）如圖，過點E作EN⊥x軸于點N，

由（2）可得△DEN≌△CDO，

∴EN＝DO，

∵△ADE面積＝×AD×EN＝（5﹣BD）（+BD）＝﹣（BD﹣）2+，

∴當BD＝時，△ADE面積最大值為．