Question

【題目】如圖，點O是矩形ABCD的對角線的交點，AB＝15，BC＝8，直線EF經過點O，分別與邊CD，AB相交于點E，F（其中0＜DE＜）．現將四邊形ADEF沿直線EF折疊得到四邊形A′D′EF，點A，D的對應點分別為A′，D′，過D′作D′G⊥CD于點G，則線段D′G的長的最大值是_____，此時折痕EF的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接AC，BD．由題意OD＝OC＝OD′＝，推出點D′的運動軌跡是弧CD，當OD′⊥CD時，D′G的值最大，設DE＝ED′＝x，在Rt△EGD′中，根據EG2+D′G2＝ED′2，構建方程求出x即可解決問題．

如圖，連接AC，BD．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，∠DAB＝90°，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝17，

∵OD＝OC＝OD′＝，

∴點D′的運動軌跡是弧CD，

當OD′⊥CD時，D′G的值最大，

∵OG∥BC，OD＝OB，

∴DG＝GC，

∴OG＝BC＝4，

∴D′G的最大值＝OD′﹣OG＝﹣4＝，

設DE＝ED′＝x，

在Rt△EGD′中，∵EG2+D′G2＝ED′2，

∴（﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝，

∴EG＝DG﹣DE＝

∴OE＝＝，

∴EF＝2OE＝．

故答案為：，