Question

【題目】已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，點M在BC邊上，過點M作PM∥AB交對角線BD于點P，連接PC．

（1）如圖1，當BM=1時，求PC的長；

（2）如圖2，設AM與BD交于點E，當∠PCM=45°時，求證：=；

（3）如圖3，取PC的中點Q，連接MQ，AQ．

①請探究AQ和MQ之間的數量關系，并寫出探究過程；

②△AMQ的面積有最小值嗎？如果有，請直接寫出這個最小值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）①AQ=MQ，見解析，②有，

【解析】

（1）過點P作PF⊥BC于點F，首先利用菱形的性質得出∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4，然后根據平行線的性質得出∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，進而可求出PM,PF,MF的長度，從而FC的長度可求，最后利用勾股定理即可求PC的長度；

（2）過點P作PG⊥BC于點G，設MG=x，由（1）可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，然后利用BM+MG+GC=BC求出x的值，進而可求出BM的長度，最后利用平行線分線段成比例即可得出結論；

（3）①延長MQ與CD交于點H，連接AH,AC，首先證明△PMQ≌△CHQ，則有PM=CH=BM，MQ=HQ，然后利用菱形的性質和等邊三角形的性質證明 △ABM≌△ACH，則有AM=AH，∠BAM=∠CAH，則△AMH為等邊三角形，則利用等邊三角形的性質即可得出AQ,MQ之間的關系；

②根據①中的結論有，當AM取最小值時，MQ有最小值，當時，AM最小，求出此時的AM,MQ的值，最后利用求解即可．

解：（1）如圖，過點P作PF⊥BC于點F．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBD=30°，AB=BC=CD=AD=4．

∵PM∥AB，

∴∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°，∠PMF =∠ABC=60°，

∴PM=BM=1，

∴MF=PM=，PF= ，

∴FC=BC-BM-MF=4-1-=，

∴PC==．

（2）證明：如圖，過點P作PG⊥BC于點G．

∵∠PCM=45°，

∴∠CPG=∠PCM=45°，

∴PG=GC．

設MG=x，由（1）可知：BM=PM=2x，GC=PG=x，

由BM+MG+GC=BC得：2x+x+x=4，

∴x=，

∴BM=．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BM∥AD，

∴

（3）①如圖，延長MQ與CD交于點H，連接AH,AC．

∵PM∥AB∥CD，

∴∠PMQ=∠CHQ，∠MPQ=∠HCQ．

∵Q是PC的中點，

∴PQ=CQ，

∴△PMQ≌△CHQ，

∴PM=CH=BM，MQ=HQ．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠ABM=∠ACH=60°，

∴△ABM≌△ACH，

∴AM=AH，∠BAM=∠CAH，

∴∠MAH=∠BAC=60°，

∴△AMH為等邊三角形，

∴AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

∴AQ=MQ．

②∵AQ⊥MH，∠MAQ=∠MAH=30°，

，

∴當AM取最小值時，MQ有最小值．

當時，AM最小，此時 ，

∴MQ的最小值為，

此時

∴△AMQ的面積有最小值，最小值為