Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸分別于點A（﹣3，0），B（1，0），交y軸正半軸于點D，拋物線頂點為C．下列結論

①2a﹣b＝0；

②a+b+c＝0；

③當m≠﹣1時，a﹣b＞am2+bm；

④當△ABC是等腰直角三角形時，a＝；

⑤若D（0，3），則拋物線的對稱軸直線x＝﹣1上的動點P與B、D兩點圍成的△PBD周長最小值為3，其中，正確的個數為（　　）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】D

【解析】

把A、B兩點坐標代入拋物線的解析式并整理即可判斷①②；

根據拋物線的頂點和最值即可判斷③；

求出當△ABC是等腰直角三角形時點C的坐標，進而可求得此時a的值，于是可判斷④；

根據利用對稱性求線段和的最小值的方法（將軍飲馬問題）求解即可判斷⑤.

解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正確；

∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，開口向下，∴x＝﹣1時，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，

∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正確；

當△ABC是等腰直角三角形時，C（﹣1，2），

可設拋物線的解析式為y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正確，

如圖，連接AD交拋物線的對稱軸于P，連接PB，則此時△BDP的周長最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，

∵AD＝＝3，BD＝＝，

∴△PBD周長最小值為3，故⑤正確．

故選：D．