Question

【題目】（綜合與實踐）如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別在射線CD、BC上，且BF＝CE，將線段FA繞點F順時針旋轉90°得到線段FG，連接EG，試探究線段EG和BF的數量關系和位置關系．

（觀察與猜想）任務一：“智慧小組”首先考慮點E、F的特殊位置如圖②，當點E與點D重合，點F與點C重合時，易知：EG與BF的數量關系是　 　，EG與BF的位置關系是　 　．

（探究與證明）任務二：“博學小組”同學認為E、F不一定必須在特殊位置，他們分兩種情況，一種是點E、F分別在CD、BC邊上任意位置時（如圖③）；一種是點E、F在CD、BC邊的延長線上的任意位置時（如圖④），線段EG與BF的數量關系與位置關系仍然成立．請你選擇其中一種情況給出證明．

（拓展與延伸）“創新小組”同學認為，若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，點E、F分別在射線CD、BC上任意位置時，仍將線段FA繞點F順時針旋轉90°，并適當延長得到線段FG，連接EG（如圖⑤），則當線段BF、CE、AF、FG滿足一個條件　 　時，線段EG與BF的數量關系與位置關系仍然成立．（請你在橫線上直接寫出這個條件，無需證明）

Answer 1

【答案】【觀察與猜想】EG＝BF，EG∥BF；【探究與證明】見解析;【拓展與延伸】＝＝k（k≠1）．

【解析】

【觀察與猜想】先根據SAS證明△ABC≌△GDC，得出AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，進而得出DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性質得出DG＝CD＝BC，即可得出結論；

【探究與證明】當點E、F分別在CD、BC邊上任意位置時，作GM⊥BC，交BC延長線于M，先根據AAS證明△ABF≌△FMG，得出AB＝FM，BF＝MG，進而可得BF＝CM，而BF＝CE，可得MG＝CE，于是四邊形CEGM是矩形，繼而有EG＝CM，EG∥CM，即可得出結論；當點E、F在CD、BC邊的延長線上的任意位置時，同上面的分析；

【拓展與延伸】作GM⊥BC，交BC延長線于M，先證明△ABF∽△FMG，得出，結合已知可得出，，進而證出FM＝BC，GM＝CE，于是BF＝CM，然后證明四邊形CEGM是矩形，進而得EG＝CM，EG∥CM，即可得出結論．

【觀察與猜想】EG＝BF，EG∥BF；

證明：如圖②，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，

由旋轉的性質得：GC＝AC，∠ACG＝90°，

∴∠ACB＝∠GCD＝45°，

∴△ABC≌△GDC（SAS），

∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，

∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，

∴DG＝CD＝BC，

∵點E與點D重合，點F與點C重合，

∴EG＝BF，EG∥BF；

故答案為：EG＝BF，EG∥BF；

【探究與證明】證明：當點E、F分別在CD、BC邊上任意位置時，如圖③所示：

作GM⊥BC，交BC延長線于M，則∠GMF＝90°，MG∥DC，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，

∴∠BAF+∠BFA＝90°，

由旋轉的性質得：GF＝AF，∠AFG＝90°，

∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，

∴△ABF≌△FMG（AAS），

∴AB＝FM，BF＝MG，

∵AB＝BC，∴BF＝CM，

∵BF＝CE，∴MG＝CE，

∵MG∥CE，∴四邊形CEGM是平行四邊形，

又∵∠M＝90°，∴四邊形CEGM是矩形，

∴EG＝CM，EG∥CM，

∴EG＝BF，EG∥BF；

當點E、F在CD、BC邊的延長線上的任意位置時，如圖④所示：

作GM⊥BC，交BC延長線于M，則∠M＝90°，MG∥DC，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，

∴∠BAF+∠BFA＝90°，

由旋轉的性質得：GF＝AF，∠AFG＝90°，

∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，

∴△ABF≌△FMG（AAS），

∴AB＝FM，BF＝MG，

∵AB＝BC，∴BF＝CM，

∵BF＝CE，∴MG＝CE，

∵MG∥CE，∴四邊形CEGM是平行四邊形，

又∵∠M＝90°，∴四邊形CEGM是矩形，

∴EG＝CM，EG∥CM，

∴EG＝BF，EG∥BF；

【拓展與延伸】解：＝k（k≠1）時，線段EG與BF的數量關系與位置關系仍然成立；理由如下：

作GM⊥BC，交BC延長線于M，如圖⑤所示：則∠M＝90°，MG∥DC，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠B＝90°，

∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠M，

由旋轉的性質得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，

∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，

∴，

∵＝k，∴＝k，＝k，

∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，

∵MG∥CE，∴四邊形CEGM是平行四邊形，

又∵∠M＝90°，∴四邊形CEGM是矩形，

∴EG＝CM，EG∥CM，

∴EG＝BF，EG∥BF；

故答案為：＝k（k≠1）．