Question

【題目】如圖，O為坐標原點，四邊彤OACB是菱形，OB在x軸的正半軸上，sin∠AOB=，反比例函數在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F，刪△AOF的面積等于（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D. 6

Answer 1

【答案】A

【解析】 過點A作AM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，設OA=a，BF=b，通過解直角三角形分別找出點A、F的坐標，結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出a、b的值，通過分割圖形求面積，最終找出△AOF的面積等于梯形AMNF的面積，利用梯形的面積公式即可得出結論．

解：過點A作AM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥x軸于點N，如圖所示．

設OA=a，BF=b，

在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，

∴AM=OAsin∠AOB=a，OM==a，

∴點A的坐標為（a， a）．

∵點A在反比例函數y=的圖象上，

∴a×a=a2=12，

解得：a=5，或a=﹣5（舍去）．

∴AM=8，OM=6．

∵四邊形OACB是菱形，

∴OA=OB=10，BC∥OA，

∴∠FBN=∠AOB．

在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，

∴FN=BFsin∠FBN=b，BN==b，

∴點F的坐標為（10+b， b）．

∵點F在反比例函數y=的圖象上，

∴（10+b）×b=12，

S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10

故選A．

“點睛”本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是找出S△AOF=S菱形OBCA.