Question

（本題滿分10分）如圖（1），點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．
（1）判斷CN、DM的數量關系與位置關系，并說明理由；
（2）如圖（2），設CN、DM的交點為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形；
（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長MA′交DC的延長線于點E，如圖（3），求tan∠DEM．

Answer 1

24．（1）CN＝DM，CN⊥DM，
證明：∵點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點
∴AM＝DN.AD＝DC.∠A＝∠CDN
∴△AMD≌△DNC，
∴CN＝DM．∠CND＝∠AMD
∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90⁰
∴CN⊥DM
∴CN＝DM，CN⊥DM…………………………………………3分
（2）證明：延長DM、CB交于點P．
∵ AD∥BC，∴∠MPC＝∠MDA，∠A＝∠MBP
∵ MA＝MB△AMD≌△BMP，∴ BP＝AD＝BC．
∵∠CHP＝90⁰ ∴BH＝BC，即△BCH是等腰三角形……………………6分
（3）∵AB∥DC ∴∠EDM＝∠AMD＝∠DME  ∴EM＝ED
設AD＝A′D＝4k，則A′M＝AM＝2k，
    ∴DE＝EA′+2k．在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²＝DE²
        ∴（4k）²+A′E²＝（EA′+2k）²解得A′E＝3k，
∴tan∠DEM＝A′D：A′E＝．………………………………10分

略