Question

（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

小題1:（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）
小題2:（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）
小題3:（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）

Answer 1

小題1:（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線，
又∵ED也為⊙O的切線， ∴EC=ED.    （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點.   
小題2:（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.
小題3:（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）
理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點， ∴BC=2OD=AC, 
∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

（1）利用EC為⊙O的切線，ED也為⊙O的切線可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知點E是邊BC的中點；
（2）解答此題需要運用圓切線和割線的性質和勾股定理求解；
（3）判定△ABC是等腰直角三角形時要用到正方形的性質來求得相等的邊．
（1）證明：連接DO；

∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線；
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點；
（2）解：∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD?BA，
∴（2EC）²=BD?BA，即BA?2=36，
∴BA=3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC===；
（3）解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵四邊形ODEC為正方形，
∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點，
∴BC=2OD=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．