Question

【題目】如圖，中，是的角平分線，，在邊上，以為直徑的半圓經過點，交于點．

(1)求證：是的切線；

(2)已知，的半徑為，求圖中陰影部分的面積．(最后結果保留根號和)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6﹣．

【解析】

（1）連接OE．根據OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根據BE是△ABC的角平分線得到∠OEB＝∠EBC，從而判定OE∥BC，最后根據∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°證得結論AC是⊙O的切線．

（2）連接OF，利用S陰影部分＝S梯形OECFS扇形EOF求解即可．

（1）連接OE．

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵BE是△ABC的角平分線

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°

又∵OE為半徑∴AC是圓O的切線

（2）連接OF．

∵圓O的半徑為4，∠A=30°，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°，

∴AB=12，

∴BC=AB=6 AC=6，

∴CE=AC﹣AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∠EOF=60°．

∴S梯形OECF=（2+4）×2=6． S扇形EOF=

∴S陰影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．