Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分別是AC、AB的中點，連接DE．點P從點D出發，沿DE方向勻速運動，速度為2cm/s；同時，點Q從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為4cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：

（1）當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？

（2）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）s或s；（2）t＝1或3或或秒

【解析】

（1）①當PQ⊥AB時，△PQE是直角三角形．證明△PQE∽△ACB，將PE、QE用時間t表示，由三角形對應線段成比例的性質即可求出t值；②當PQ⊥DE時，證明△PQE∽△DAE，將PE、QE用時間t表示，利用三角形對應線段成比例的性質即可求出t值；

（2）分三種情形討論，①當點Q在線段BE上時，EP＝EQ；②當點Q在線段AE上時，EQ＝EP；③當點Q在線段AE上時，EQ＝QP；④當點Q在線段AE上時，PQ＝EP，分別列出方程即可解決問題．

解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，

∴AB＝＝20cm．

∵D、E分別是AC、AB的中點．

∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝BC＝8cm，

①如圖1中，PQ⊥AB時，

∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，

∴△PQE∽△ADE，

∴，

由題意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，

即 ，

解得t＝；

②如圖2中，當PQ⊥DE時，△PQE∽△DAE，

∴，

∴，

∴t＝，

∴當t為s或s時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似．

（2）①如圖3中，當點Q在線段BE上時，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．

②如圖4中，當點Q在線段AE上時，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．

③如圖5中，當點Q在線段AE上時，由EQ＝QP，可得 （8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝．

④如圖6中，當點Q在線段AE上時，由PQ＝EP，可得 （4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝．

綜上所述，t＝1或3或 或 秒時，△PQE是等腰三角形．