Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線經過，兩點，拋物線的頂點為，對稱軸與軸交于點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求的面積；

（3）在拋物線上是否存在一點，使它到軸的距離為4，若存在，請求出點的坐標，若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）存在一點P或，使它到x軸的距離為4

【解析】

（1）先根據一次函數的解析式求出A和C的坐標，再將點A和點C的坐標代入二次函數解析式即可得出答案；

（2）先求出頂點D的坐標，再過D點作DM平行于y軸交AC于M，再分別以DM為底求△ADM和△DCM的面積，相加即可得出答案；

（3）令y=4或y=-4，求出x的值即可得出答案.

解：（1）直線y＝﹣x+2中，當x = 0時，y = 2；

當y=0時，0 =﹣x+2，解得x = 4

∴點A、C的坐標分別為（0，2）、（4，0），

把A（0，2）、C（4，0）代入

解得，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；

（2）y＝﹣x2+x+2

∴拋物線的頂點D的坐標為，

如圖1，設直線AC與拋物線的對稱軸交于點M

直線y＝﹣x+2中，當x = 時，y =

點M的坐標為，則DM=

∴△DAC的面積為=；

（3）當P到x軸的距離為4時，則

①當y=4時，﹣x2+x+2=4，

而，所以方程沒有實數根

②當y= - 4時，﹣x2+x+2= - 4，

解得

則點P的坐標為或；

綜上，存在一點P或，使它到x軸的距離為4．