Question

10．如圖，已知二次函數y=x²-（$\sqrt{3}$-m）x-$\sqrt{3}$m（其中0＜m＜$\sqrt{3}$）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，△ABC的外心為P．
（1）∠BAC=60°；
（2）求點P的坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在坐標軸上是否存在點Q，使得以Q、A、C為頂點的三角形與△PBC相似，且面積比為2：3？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的坐標，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0和y=0求出A、B、C三點的坐標，表示出OA和OC的長，利用三角函數求∠BAC的度數；
（2）如圖1，作對稱軸l，則點P在對稱軸上，連接PA、PC，根據PA=PC利用勾股定理列方程可求得P的坐標；
（3）先根據同弧所對的圓心角是圓周角的2倍可求得：∠BPC=2∠BAC=120°，再由外心可知：PA=PB=PC，所以△BPC是一個頂角為120°，兩底角為30°的等腰三角形，根據以Q、A、C為頂點的三角形與△PBC相似，可知△QAC也是一個頂角為120°，兩底角為30°的等腰三角形，得出Q（-3m，0）或（0，$\sqrt{3}$m）；
分兩種情況畫圖：根據面積比為2：3列式可求得相應m的值，寫出對應Q的坐標．

解答 解：（1）當x=0時，y=-$\sqrt{3}$m，
∴C（0，-$\sqrt{3}$m），
∴OC=$\sqrt{3}$m，
當y=0時，x²-（$\sqrt{3}$-m）x-$\sqrt{3}$m=0，
（x-$\sqrt{3}$）（x+m）=0，
x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-m，
∴A（-m，0），B（$\sqrt{3}$，0），
∴OA=m，
在Rt△AOC中，tan∠BAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}m}{m}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°，
故答案為：60；
（2）如圖1，作拋物線的對稱軸l，交x軸于E，則外心P一定是直線l上，
過P作PD⊥y軸于D，連接PA、PC，
∴對稱軸l：x=-$\frac{-（\sqrt{3}-m）}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，
設P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，n），
∵△ABC的外心為P，
∴PA=PC，
∴PA²=PC²，
∴PE²+AE²=PD²+CD²，
則${n}^{2}+（m+\frac{\sqrt{3}-m}{2}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{3}-m}{2}）^{2}$+（n+$\sqrt{3}$m）²，
解得：n=$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$，
∴P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$）；
（3）存在點Q滿足題意，如圖2，點P是△ABC的外心，則∠BPC和∠BAC對應同一條弧BC，且由（1）可知：∠BAC=60°，
∴∠BPC=2∠BAC=120°
∴△BPC是一個頂角為120°，兩底角為30°的等腰三角形，
∵以Q、A、C為頂點的三角形與△PBC相似，
∴△QAC也是一個頂角為120°，兩底角為30°的等腰三角形，
由題意得：Q（-3m，0）或（0，$\sqrt{3}$m）；
①當Q（0，$\sqrt{3}$m）時，如圖2，
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$CQ•AO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$m×m=$\sqrt{3}$m²，
設BC的解析式為：y=kx+b，
把B（$\sqrt{3}$，0），C（0，-$\sqrt{3}$m）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=m}\\{b=-\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式為：y=mx-$\sqrt{3}$m，
設對稱軸l與BC交于H，
∵P（$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}m}{2}$），
當x=$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$時，y=m•$\frac{\sqrt{3}-m}{2}$-$\sqrt{3}$m=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴PH=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}m-1}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$，
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$PH•OB=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$）×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{2}{3}$時，則3S_△ACQ=2S_△BPC，
即3$\sqrt{3}$m²=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
m=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵0＜m＜$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（0，$\frac{\sqrt{15}}{5}$），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{3}{2}$時，則2S_△ACQ=3S_△BPC，
即2$\sqrt{3}$m²=3×$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m²+1），
m=$±\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵0＜m＜$\sqrt{3}$，
∴m=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴Q（0，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）；
②當Q（-3m，0）時，如圖3，
S_△ACQ=$\frac{1}{2}$AQ•CO=$\frac{1}{2}$×2m×$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m²，
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{2}{3}$時，則3S_△ACQ=2S_△BPC，
同理得m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0），
若$\frac{{S}_{△ACQ}}{{S}_{△BPC}}$=$\frac{3}{2}$時，則2S_△ACQ=3S_△BPC，
同理得：m=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴Q（-$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，0）；
綜上所述，點Q的坐標為：∴Q（0，$\frac{\sqrt{15}}{5}$）或Q（0，$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）或Q（-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，0）或Q（-$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了拋物線與兩坐標軸交點的坐標、三角形的外接圓及外心、三角形相似的判定、三角形面積等知識，難度較大，屬于字母系數的問題，本題要把m作為常數來解決，注意采用分類討論的分式，不要漏解．