Question

【題目】某數學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．

活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直．（A1A2為第1根小棒）

數學思考：

（1）小棒能無限擺下去嗎？答：　 　．（填“能”或“不能”）

（2）設AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度數；

活動二：如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1．

數學思考：

（3）若已經擺放了3根小棒，則θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）

（4）若只能擺放5根小棒，求θ的范圍．

Answer 1

【答案】（1）能；（2）22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°

【解析】

（1）先根據已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續擺下去．
（2）利用等腰直角三角形的性質求解即可．
（3）本題需先根據A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同樣道理得出θ2、θ3的值；
（4）根據（3）的結論，和三角形外角的性質，即可推出不等式，解不等式即可．

解：（1）∵根據已知條件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端能分別落在兩射線上，

∴小棒能繼續擺下去．

故答案為：能；

（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴∠A2A1A3＝45°，

∴∠AA2A1+∠θ＝45°，

∵∠AA2A1＝∠θ，

∴∠θ＝22.5°；

（3）∵A1A2＝AA1

∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ

∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ

∴θ1＝2θ

同理可得：θ2＝3θ

θ3＝4θ．

故答案為：2θ，3θ，4θ；

（4）由題意得：，

∴15°≤θ＜18°．