Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB交AB于點D，點P是⊙O上AB上方的一個動點（P不與A、B重合），已知∠APB=60°，∠OCB=2∠BCM．

（1）設∠A=α，當圓心O在∠APB內部時，寫出α的取值范圍；

（2）求證：CM是⊙O的切線；

（3）若OC=4，PB=4，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）當圓心O在∠APB內時，α的取值范圍為30°＜α＜90°；（2）證明見解析；（3）2+2．

【解析】

（1）取特殊情況：當O點在PA上，即AP為直徑，根據圓周定理得∠PBA=90°，而∠APB=60°，得到此時∠A=30°；當O點在PB上，即BP為直徑，得到∠A=90°；由此得到當圓心O在∠APB內時，α的取值范圍為30°＜α＜90°；

（2）連結OB，根據垂徑定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧，再根據圓周角定理得∠APB=∠BCP，于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°，然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判斷△OBC為等邊三角形，則∠MCB=30°，可計算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，于是根據切線的判定定理即可得到結論；

（3）作BE⊥PC于E，如圖，在Rt△PBE中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到BE=PB=2，PE=BE=2，再由△OBC為等邊三角形得BC=OC=4，則可根據勾股定理計算出CE，然后利用PC=PE+CE進行計算即可．

（1）當O點在PA上，即AP為直徑，則∠PBA=90°，而∠APB=60°，所以此時∠A=30°；

當O點在PB上，即BP為直徑，則∠A=90°；

所以當圓心O在∠APB內時，α的取值范圍為30°＜α＜90°；

（2）證明：連結OB，如圖，

∵OC⊥AB，

∴，

∴∠APB=∠BCP，

∵∠APB=60°，

∴∠BPC=30°，

∴∠BOC=2∠BPC=60°，

∴△OBC為等邊三角形，

∴∠OCB=60°，

∵∠OCB=2∠BCM，

∴∠MCB=30°，

∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°，

∴OC⊥MC，

∴CM與⊙O相切；

（3）作BE⊥PC于E，如圖，

在Rt△PBE中，∠BPE=30°，PB=4，

∴BE=PB=2，PE=BE=2，

∵△OBC為等邊三角形，

∴BC=OC=4，

在Rt△BEC中，CE=，

∴PC=PE+CE=．