Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為拋物線在第二象限上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；

（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=﹣x2﹣2x+3；（2）點P的坐標為（﹣，，）；（3）M（0，1）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出a，b，c，即可求解；

（2）用S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC計算即可；

（3）設M（0，m）先判定△AOM≌△MFD，求出m即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

∴，∴，

∴拋物線y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖所示，

設P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜0），

∵OA=3，OC=3，

∴S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC

= OA×|yP|+OA×|xP|﹣OA×OC

=×3×（﹣x2﹣2x+3）+×3×（﹣x）﹣×3×3

=﹣x2﹣x

=﹣（x+）2+，

∴當x=﹣時，S最大=，

∴﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，

∴點P的坐標為（﹣，），

（3）如圖所示，當△ADM是等腰直角三角形，只能∠AMD=90°，

設M（0，m），過D作DF⊥x軸，∴F（0，4），∴OM=m，PM=4﹣m，DF=1，

∴△AOM≌△MFD，∴OM=DF=1，PM=OA=3，∴m=1,4-m=3，∴m=1，

∴M（0，1）