Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點D，過D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=4，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）首先連接OD，CD，由以BC為直徑的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角為30°，可得AD=BD，即可證得OD∥AC，繼而可證得結論；

（2）首先根據三角函數的性質，求得BD，DE，AE的長，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面積，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：連接OD，CD，

∵BC為⊙O直徑，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵△ABC是等腰三角形，

∴AD=BD，

∵OB=OC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∵D點在⊙O上，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，

∴CD=BC=2，BD=BCcos30°=2，

∴AD=BD=2，AB=2BD=4，

∴S△ABC=ABCD=×4×2=4，

∵DE⊥AC，

∴DE=AD=×2=，

AE=ADcos30°=3，

∴S△ODE=ODDE=×2×=，

S△ADE=AEDE=××3=，

∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，

∴S△OEC=S△ABC-S△BOD-S△ODE-S△ADE=4---=．