Question

如圖1，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點(B在A的左側)，頂點為C， 點D（1，m）在此二次函數圖象的對稱軸上，過點D作y軸的垂線，交對稱軸右側的拋物線于E點．

（1）求此二次函數的解析式和點C的坐標；

（2）當點D的坐標為（1，1）時，連接BD、．求證：平分；

（3）點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，求點E的橫坐標．

 

Answer 1

 解：（1）∵點D（1，m）在圖象的對稱軸上，

∴．

∴．

∴二次函數的解析式為．

∴C（1，-4）． 

 

（2）∵D（1，1），且DE垂直于y軸，

∴點E的縱坐標為1，DE平行于x軸．

∴．

令，則，解得．

∵點E位于對稱軸右側，

∴E．

∴D E =．

令，則，求得點A的坐標為（3,0），點B的坐標為（-1,0）．

∴BD =．

∴BD = D E．

∴ ．

∴ ．

∴平分．

（3）∵以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，

且△GDE為直角三角形，

∴△ACG為直角三角形．     

∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限，

∴．

∵A（3,0）C（1，-4），,

∴求得G點坐標為（1，1）．

∴AG=，AC=．

∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

設（t >1） ，

.當點D在點G的上方時，則DE=t -1，

GD = ()=.

i. 如圖2，當 GD=2 DE時，

則有， = 2(t-1).

解得，.(舍負)

ii. 如圖3，當DE =2GD時，

則有，t -1=2().

解得，.(舍負)

. 當點D在點G的下方時，則DE=t -1，

  GD=1- ()= -.

i. 如圖4，當 GD=2 DE時，

則有， =2（t -1）.

解得，.(舍負)  ii. 如圖5，當DE =2 GD時，

則有，t-1=2（）.

解得，.(舍負) …

綜上，E點的橫坐標為或或或.