Question

【題目】問題發現：

(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC(k＞1)，D是AB上一點，DE∥BC，則BD，EC的數量關系為　 　．

類比探究

(2)如圖2，將△AED繞著點A順時針旋轉，旋轉角為a(0°＜a＜90°)，連接CE，BD，請問(1)中BD，EC的數量關系還成立嗎？說明理由

拓展延伸：

(3)如圖3，在(2)的條件下，將△AED繞點A繼續旋轉，旋轉角為a(a＞90°)．直線BD，CE交于F點，若AC＝1，AB＝，則當∠ACE＝15°時，BFCF的值為_____．

Answer 1

【答案】(1)BD＝kEC；(2)成立，理由見解析；(3)1或2.

【解析】

問題發現：（1）由平行線分線段成比例可得，即可得BD＝kEC；

類比探究：（2）通過證明△ABD∽△ACE，可得＝k，即可得BD＝kEC；

拓展延伸：（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可得∠ACE＝∠ABD，即可證∠BFC＝90°，由直角三角形的性質和勾股定理可求BFCF的值．

問題發現：

(1)∵DE∥BC，

∴，

∵AB＝kAC，

∴BD＝kEC，

故答案為：BD＝kEC；

類比探究：

(2)成立，

理由如下：連接BD

由旋轉的性質可知，∠BAD＝∠CAE

∵，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝k，

故BD＝kEC；

拓展延伸：

(3)BFCF的值為2或1；

由旋轉的性質可知∠BAD＝∠CAE

∵，

∴△ABD∽△ACE

∴∠ACE＝15°＝∠ABD

∵∠ABC+∠ACB＝90°

∴∠FBC+∠FCB＝90°

∴∠BFC＝90°

∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°

∴∠ACB＝60°

分兩種情況

①如圖2，

∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，

∴BC＝2AC＝2，

∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2

∴BF＝CF＝

∴BFCF＝()2＝2

②如圖3，

設CF＝a，在BF上取點G，使∠BCG＝15°

∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，

∴∠CFB＝90°

∴∠GCF＝60°

∴CG＝BG＝2a，GF＝a．

∵CF2+BF2＝BC2

∴a2+(2a+a） 2＝22，

解得a2＝2﹣，

∴BFCF＝(2+)aa＝(2+)a2＝1，

即：BFCF＝1或2．

故答案為：1或2．