Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線上有一個動點P，當點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S△PAB=10，并求出此時P點的坐標；

（3）設（1）中的拋物線交y軸交于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P點的坐標為（-2，5）或（4，5）；（3）點Q的坐標為（1，-2）．

【解析】

（1）根據拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點得到關于b和c的二元一次方程組，解方程組求出b和c的值即可；

（2）設動點P的坐標為（m，m2-2m-3），根據面積公式求出m的值即可；

（3）設點C關于對稱軸的對稱點為C′，連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為滿足題意的Q點．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3；

（2）設動點P的坐標為（m，m2-2m-3），

若足S△PAB=10，

則AB×|m2-2m-3|=10，

即2|m2-2m-3|=10，

解得m=4或m=-2；

當m=4時，m2-2m-3=5，

當m=-2時，m2-2m-3=5，

綜上P點的坐標為（-2，5）或（4，5）；

（3）設點C關于對稱軸的對稱點為C′，連接AC′，直線AC′與對稱軸的交點即為滿足題意的Q點；

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線對稱軸為x=1，C′坐標為（2，-3），

設直線AC′的解析式為y=kx+b，

根據題意可得，

解得，

所以直線AC′的解析式為y=-x-1，

當x=1時，y=-2，

即點Q的坐標為（1，-2）．