Question

【題目】正方形ABCD，邊長為4，E是邊BC上的一動點，連DE，取DE中點G，將GE繞E順時針旋轉90°到EF，連接CF，當CE為_____時，CF取得最小值．

Answer 1

【答案】

【解析】

作GM⊥BC于M，FN⊥BC于N，證出GM是△CDE是中位線，得出CM=EM，GM=

CD=2，由旋轉的性質得出EF=EG，∠GEF=90°，證明△GEM≌△EFN（AAS），得出GM=EN=2，EM=FN，設CE=x，則CM=EM=FN=x，在Rt△CFN中，由勾股定理得出CF2=CN2+FN2=，由二次函數的性質即可得出答案．

作GM⊥BC于M，FN⊥BC于N，如圖所示：

則GM∥CD，

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，

∵G是DE的中點，

∴GM是△CDE是中位線，

∴CM＝EM，GM＝CD＝2，

由旋轉的性質得：EF＝EG，∠GEF＝90°，

即∠GEM+∠FEN＝90°，

∵∠GEM+∠EGM＝90°，

∴∠EGM＝∠FEN，

在△GEM和△EFN中，

，

∴△GEM≌△EFN（AAS），

∴GM＝EN＝2，EM＝FN，

設CE＝x，則CM＝EM＝FN＝x，

在Rt△CFN中，由勾股定理得：CF2＝CN2+FN2＝（x﹣2）2+（x）2＝x2﹣4x+4＝（x﹣）2+，

∴當x＝時，CF的最小值＝＝；

故答案為：．