Question

【題目】已知：∠AOB＝140°，OC，OM，ON是∠AOB內的射線．

（1）如圖1所示，若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度數：

（2）如圖2所示，OD也是∠AOB內的射線，∠COD＝15°，ON平分∠AOD，OM平分∠BOC．當∠COD繞點O在∠AOB內旋轉時，∠MON的位置也會變化但大小保持不變，請求出∠MON的大小；

（3）在（2）的條件下，以∠AOC＝20°為起始位置（如圖3），當∠COD在∠AOB內繞點O以每秒3°的速度逆時針旋轉t秒，若∠AON：∠BOM＝19：12，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）∠MON的度數為70°．（2）∠MON的度數為62.5°．（3）t的值為20．

【解析】

（1）根據角平分線的性質以及角的和差倍關系轉化求出角的度數；

（2）根據角平分線的性質可以求得：∠MON＝（∠AOB+∠COD）﹣∠COD，代入數據即可求得；

（3）由題意得∠AON＝（20°+3t+15°），∠BOM＝（140°﹣20°﹣3t），由此列出方程即可求解.

（1）∵ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，

∴∠CON＝∠AOC，∠COM＝∠BOC

∠MON＝∠CON+∠COM

＝（∠AOC+∠BOC）

＝∠AOB

又∠AOB＝140°

∴∠MON＝70°

答：∠MON的度數為70°．

（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，

∴∠COM＝∠BOC，∠DON＝∠AOD

即∠MON＝∠COM+∠DON﹣∠COD

＝∠BOC+∠AOD﹣∠COD

＝（∠BOC+∠AOD）﹣∠COD．

＝（∠BOC+∠AOC+∠COD）﹣∠COD

＝（∠AOB+∠COD）﹣∠COD

＝（140°+15°）﹣15°

＝62.5°

答：∠MON的度數為62.5°．

（3）∠AON＝（20°+3t+15°），

∠BOM＝（140°﹣20°﹣3t）

又∠AON：∠BOM＝19：12，

12（35°+3t）＝19（120°﹣3t）

得t＝20

答：t的值為20．