Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA,OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內部及邊上，橫、縱坐標均為整數的點稱為好點．點P為拋物線的頂點．

（1）當時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數．

（2）當時，求該拋物線上的好點坐標．

（3）若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）好點有：，，，和，共5個；（2），和；（3）.

【解析】

（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數的表達式y＝﹣x2+2，畫出函數圖象，利用圖象法解決問題即可；（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結合圖象即可解決問題；（3）如圖3中，拋物線的頂點P（m，m+2），推出拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，由點P在正方形內部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），求出拋物線經過點E或點F時Dm的值，即可判斷．

解：（1）當時，二次函數的表達式為

畫出函數圖像（圖1）

圖1

當時，；當時，

拋物線經過點和

好點有：，，，和，共5個

（2）當時，二次函數的表達式為

畫出函數圖像（圖2）

圖2

當時，；當時，；當時，

該拋物線上存在好點，坐標分別是，和

（3）拋物線頂點P的坐標為

點P支直線上

由于點P在正方形內部，則

如圖3，點，

圖3

當頂點P支正方形OABC內，且好點恰好存在8個時，拋物線與線段EF有交點（點F除外）

當拋物線經過點時，

解得：，（舍去）

當拋物線經過點時，

解得：，（舍去）

當時，頂點P在正方形OABC內，恰好存在8個好點