Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 中，矩形 的邊 在 軸上，頂點 在拋物線 上，且拋物線交 軸于另一點 ．

（1）則 = ， =；
（2）已知 為 邊上一個動點（不與 、 重合），連結 交 于點 ，過點 作 軸的平行線分別交拋物線、直線 于 、 ．
①求線段 的最大值，此時 的面積為；
②若以點 為圓心， 為半徑作⊙O，試判斷直線 與⊙O的能否相切，若能請求出 點坐標，若不能請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）,
（2）解：①由點O（0，0）、B（4，2）兩點可得直線OB的解析式為 ，

設點E的坐標為（m，2），則點F的坐標為（m， ），點G的坐標為（m， ），∴FG=（ ）- = ，

∴當m=2時，線段FG的最大值為1．

此時過E（2，2）、A（4，0）兩點直線AE的解析式為y=-x+4，

∴直線OB與直線AE的交點P的坐標為（ ， ），

∴ 邊FG邊上的高為 ，

∴ 的面積為 ；②直線AE能與⊙O相切，當直線AE與⊙O相切時，則OB⊥AE，∴△ABE∽△OAB，

∴ ，即 ，

∴BE=1，CE=3，

∴點E的坐標為（3，2）．

【解析】（1）把點B與點D坐標代入拋物線解析式，建立方程，求出a與b的值即可。
（2）①先求出直線OB的解析式，設出E坐標為（m，2），根據EG與y軸平行，表示出F與G坐標，進而表示出FG，，列出FG關于x的函數解析式，利用二次函數性質求出FG最大值，以及此時m的值，確定出E坐標，利用待定系數法求出直線AE解析式，與直線OB聯立求出交點P坐標，進而確定出此時三角形PFG面積即可；②當AE⊥OB，垂足為P時，以點O為圓心，OP為半徑作 O，直線AE與 O相切，如圖所示，根據直線OB解析式確定出直線AE解析式，進而求出垂足P坐標,再證明△ABE∽△OAB，根據相似三角形的性質求出AE、BE的長，即可求出點E的坐標。
【考點精析】關于本題考查的二次函數的最值和相似三角形的判定與性質，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．