Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點在軸正半軸，點在軸負半軸，連接，，

（1）求點坐標

（2）如圖2，點是線段上一點，連接，以為直角邊做等腰直角，，設點的橫坐標為，求點的坐標（用含的代數式表示）

（3）在（2）的條件下，如圖3，在延長線上有一點，過點作的平行線，交軸于點，延長交于點，若，，求點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) 點B坐標為（-2，0）,(2) 點E的坐標（2-m，m），(3)F點（1，3）.

【解析】

（1）根據△AOB是等腰直角三角形可求出OA、OB長，即可得到B的坐標；

（2）作DM⊥OB，EN⊥X軸，垂足分別為M、N，易證△DOM≌△OEN，從而DM=ON,OM=EN，即可得到E點坐標；

（3）延長OD交HF延長線于P點，在y軸正半軸取R點使OR=OH，過F點作FM垂直于y軸，將AF=GH轉化為MF=GH=PR，再利用△RNP≌△FNM，△BOD≌△PFD，得PF=MR=OB=2, 設MF=m，MN=y，FN=2-y，則MA=m，OH=OR=4+m，用勾股定理和相似列方程組解出m即可解答.

解：（1）∵∠ABO=45°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴2OB2=AB2，

∵AB=2

∴OB=2，

∴點B坐標為（-2，0）

（2）作DM⊥OB，EN⊥X軸，垂足分別為M、N，

∵∠DOE=90°，

∴∠MDO=∠NOE，

在△DOM和△OEN中

,

∴△DOM≌△OEN（AAS）

∴DM=ON,OM=EN

∵△BMD、△BOA是等腰直角三角形，EN=OM=-m

∴ON=DM=2+m

∴點E的坐標（2+m，-m），

（3）延長OD交HF延長線于P點，在y軸正半軸取R點使OR=OH，過F點作FM垂直于y軸，

∵△DOE是等腰直角三角形，DE∥FH，

∴△POG是等腰直角三角形，

易證△POR≌△GOH，

∴PR=GH，∠PRN=∠GHO

∵MF⊥y軸，△AOB是等腰直角三角形，

∴△AMF是等腰直角三角形，∠GHO=∠NFM

∴AF=MF，

又∵AF=GH

∴PR=GH=MF，

在△RNP和△FNM中

,

△RNP≌△FNM（AAS）

∴PN=MN，FN=RN，

∴PF=MR

在△BOD和△PFD中，

∴△BOD≌△PFD（AAS），

∴PF=OB=MR=2，

設MF=m，MN=y，FN=2-y，則MA=m，OH=OR=4+m

在Rt△MNF中，，

∴，

∵△MFN∽△OHN

∴，

∴，

聯立解方程得m=1，

∴F點坐標為（1，3）