Question

【題目】（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；

（簡單應用）

（2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數；

（問題探究）

（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數，并說明理由．

（拓展延伸）

（4） ①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為： （用α、β表示∠P）；

②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可證明；

（2）直接利用（1）中的結論兩次，兩式相加，然后根據角平分線的性質求解即可；

（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．

（4）①同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．

②同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．

（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．

在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．

∵∠AEB=∠CED，

∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，

∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，

∴∠P=36°．

（3）∠P=26°，理由是：如圖3：

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．

∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，

∴∠P+∠1=∠B+∠4．

∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），

∴2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．

（4）①設∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，

∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．

∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，

∵∠C=α，∠B=β，

∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，

∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），

∴2α+β=3∠P

∴∠P=．

故答案為：∠P=．

②設∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．

∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，

∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，

∴∠P=．

故答案為：∠P=．