Question

【題目】巳知二次函數(shù)y=a（x2﹣6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．
（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應(yīng)點0'恰好落在該拋物線的 對稱軸上，求實數(shù)a的值；
（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的 右側(cè)．小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）．“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；
（3）如圖②，當(dāng)點P在拋物線對稱軸上時，設(shè)點P的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個正數(shù)a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，

解得x1=2，x2=4；

令x=0，解得y=8a，

∴點 A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），

該拋物線對稱軸為直線x=3，

∴OA=2，

如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點為M，則AM=1，

由題意得：O′A=OA=2，

∴O′A=2AM，

∴∠O′AM=60°，

∴∠OAC=∠O′AC=60°，

∴OC=2 ，即8a=2 ，

∴a=

（2）

解：若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結(jié)論同樣成立，

①如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點，連接PM，

∵點E（4，4）、F（4，3）與點B（4，0）在一直線上，點C在y軸上，

∴PB＜4，PC≥4，

∴PC＞PB，

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，

②設(shè)P是邊FG上的任意一點（不與點G重合），

∵點F的坐標(biāo)是（4，3），點G的坐標(biāo)是（5，3），

∴FB=3，GB= ，

∴3≤PB ，

∵PC≥4，

∴PC＞PB，

又∵PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，

∴此時線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形

（3）

解：存在一個正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，

如圖③，∵點A、B是拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上，

∴PA=PB，

∴當(dāng)PC=PD時，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形，

∵點C的坐標(biāo)是（0，8a），點D的坐標(biāo)是（3，﹣a），

點P的坐標(biāo)是（3，t），

∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，

由PC=PD得PC2=PD2，

∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，

整理得：7a2﹣2ta+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴a= = ，

∴a= 或a= ，

∵t＞3，

∴顯然a= 或a= ，滿足題意，

∴當(dāng)t是一個大于3的常數(shù)時，存在兩個正數(shù)a= 或a= ，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個平行四邊形．

【解析】（1）本題需先求出拋物線與x軸交點坐標(biāo)和對稱軸，再根據(jù)∠OAC=60°得出OC，從而求出a．（2）本題需先分兩種情況進行討論，當(dāng)P是EF上任意一點時，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關(guān)于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．