Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(n，0)是 x 軸上一點，點 B(0，m)是y軸上一點，且滿足多項式(x＋m)(nx－2)的積中 x的二次項與一次項系數均為2.

（1）求出A,B兩點坐標.

（2）如圖1，點M為線段OA上一點，點P為 x 軸上一點，且滿足BM＝MN，∠NAP=45°，證明：BM⊥MN.

（3）如圖2，過O作OF⊥AB于F，以OB為邊在y軸左側作等邊△OBM，連接AM交OF于點N，試探究：在線段AF，AN，MN中，哪條線段等于AM與ON差的一半？請寫出這個等量關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（0，2）；（2）見解析；（3）AN=(AM-ON)，證明見解析

【解析】

（1）計算(x＋m)(nx－2)，然后令二次項系數和一次項系數均為2求出m、n的值，即可得出A、B的坐標；

（2）在y軸上取一點使得OC=OM，過點B作BD⊥MC于點D，延長NA與CM交于點E，先證△BDC≌△AEM，再證△BDM≌△MEN，得到∠BMD=∠N，然后由直角三角形的兩銳角互余等量代換即可得出結論；

（3）在AM上截取一點C使CM=ON，連接BC并延長交x軸于點D．由∠BOM=60°得∠MOD=30°，由等腰三角形的性質和三角形外角的性質可得∠OMA=∠OAM=15°，得到∠BAM=30°，∠BMA=45°，可證△OAN≌△BMC，可得到∠ABC=90°，進而利用含30°角直角三角形的性質和線段的和差關系即可得出結論．

（1）解：(x＋m)(nx－2)=nx2+(mn+2)x-2m，

∵x的二次項與一次項系數均為2，

∴，

解得m=2，n=2，

∴A（2，0），B（0，2）；

（2）在y軸上取一點使得OC=OM，過點B作BD⊥MC于點D，延長NA與CM交于點E，

∵OC=OM，∠COM=90°，

∴∠OCM=∠OMC=45°，

∴∠DCB=∠OCM=45°，∠AME=∠OMC=45°，

∴∠DCB=∠AME，

∵∠MAE=∠NAP=45°，

在△BDC中，∠DBC=90°-45°=45°，

∴∠MAE=∠DBC，

∵OA=OB，OM=OC，

∴AM=BC，

在△BDC和△AEM中，

∴△BDC≌△AEM（AAS），

∴BD=AE，

∴BD=ME，

在Rt△BDM和Rt△MEN中，

，

∴△BDM≌△MEN（HL），

∴∠BMD=∠N，

∵∠N+∠NME=90°，

∴∠BMD+∠NME=90°，

∴∠BMN=90°，

∴BM⊥MN；

（3）（3）AN=(AM-ON)．

證明：在AM上截取一點C使CM=ON，連接BC并延長交x軸于點D．

∵△OBM是等邊三角形，

∴∠BOM=∠BMO=60°，MB=OB=2，

∴∠MOD=90°-60°=30°，

∵OM=OA，

∴∠OMA=∠OAM=15°，

∵OA=OB，OB⊥OA，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠BAM=45°-15°=30°，

∠BMA=60°-15°=45°，

∵△AOB是等腰直角三角形，OF⊥AB，

∴∠AON=45°，

∵OA=2，∴OA=MB，

在△OAN和△BMC中，

∴△OAN≌△BMC（SAS），

∴∠OAN=∠MBC=15°，AN=BC，

∴∠ABC=45°+60°-15°=90°，

在Rt△ABC中∠BAM=30°，

∴BC=AC，

∴AN=AC=(AM-CM)= (AM-ON)．