Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD．

（1）求證：BE=AD；

（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；

（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△DBC是等腰三角形．見解析

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件證明△DAB≌△EBC（ASA），根據全等三角形的對應邊相等即可得到AD=BE；

（2）分別證明AD=AE，CE=CE，根據線段垂直平分線的逆定理即可解答；

（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≌△EBC，得到DB=EC，又有△AEC≌△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．

解：（1）∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠DBC=90°，

∵CE⊥BD，

∴∠BCE+∠DBC=90°，

∴∠ABD=∠BCE，

∵AD∥BC，

∴∠DAB=∠EBC，

在△DAB和△EBC中，

∴△DAB≌△EBC（ASA）

∴AD=BE

（2）∵E是AB的中點，即AE=BE，

∵BE=AD，

∴AE=AD，

∴點A在ED的垂直平分線上（到角兩邊相等的點在角的平分線上），

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵∠BAD=90°，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

在△EAC和△DAC中，

，

∴△EAC≌△DAC（SAS）

∴CE=CD，

∴點C在ED的垂直平分線上

∴AC是線段ED的垂直平分線．

（3）△DBC是等腰三角形

∵△DAB≌△EBC，

∴DB=EC

∵△AEC≌△ADC，

∴EC=DC，

∴DB=DC，

∴△DBC是等腰三角形．