Question

16．任△ABC中，AD是BC邊上的高，AD=$\sqrt{3}$，AC=2，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，則tan∠ABC的值為$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 首先利用三角形面積公式求出BC，分兩種情形①當高在△ABC外部時．②當高在△ABC內部時．畫出圖形，即可解決問題．

解答 解：∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•BC•AD，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$•BC•$\sqrt{3}$，
∴BC=4，
如圖①當高在△ABC外部時在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴在Rt△ABD中，tanABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．
②當高在△ABC內部時，BC′=4，DC′=1，BD=3，
∴tan∠ABC=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{5}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查解直角三角形、銳角三角函數、三角形的面積等知識，解題的關鍵是注意一題多解，三角形的高可能在三角形外，也可能想三角形內部，屬于中考常考題型．