Question

20．某廠家在甲、乙兩家商場銷售同一商品所獲利潤分別為y_甲，y_乙（單位：元），y_甲，y_乙與銷售量x（單位：件）的函數關系如圖所示，請你根據圖象解決下列問題：
（1）分別求出y_甲、y_乙與x的函數關系式；
（2）現在廠家有商品500件，單獨分配給甲商場或乙商場，分配給哪個商場，廠家獲得的利潤更高？請說明理由并求出最大利潤．
（3）現在廠家有商品1200件，分配給甲商場和乙商場，如何分配，廠家獲得的總利潤最大？

Answer 1

分析 （1）設y_甲=k₁x（k₁≠0），把x=600，y_甲=480代入即可；當0≤x≤200時，設y_乙=k₂x（k₂≠0），把x=200，y_乙=400代入即可；當x＞200時，設y_乙=k₃x+b（k₃≠0），把x=200，y_乙=400和x=600，y_乙=480代入即可；
（2）當x=500時求出y_甲，當x=500時求出y_乙，即可比較求出答案；
（3）設分配給甲商場a件，則分配給乙商場（1200-a）件，利用函數增減性得出答案．

解答 解：（1）設y_甲=k₁x（k₁≠0），由圖象可知：
當x=600時，y_甲=480，
代入得：480=600k₁，
解得：k₁=0.8，
所以y_甲=0.8x（x為非負整數）；
當0≤x≤200時，設y_乙=k₂x（k₂≠0），
由圖象可知：
當x=200時，y_乙=400，
代入得：400=200k₂，
解得：k₂=2，
所以y_乙=2x；
當x＞200時，設y_乙=k₃x+b（k₃≠0），
由圖象可知：由圖象可知：
當x=200時，y_乙=400，
當x=600時，y_乙=480，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{200{k}_{3}+b=400}\\{600{k}_{3}+b=480}\end{array}\right.$，
解得：k₃=0.2，b=360，
所以y_乙=0.2x+360；
即y_乙=$\left\{\begin{array}{l}{2x（0≤x≤200）}\\{0.2x+360（x＞200）}\end{array}\right.$（且x為正整數）；

（2）∵當x=500時，y_甲=0.8×500=400（元），
當x=500時，y_乙=0.2×500+360=460（元），
故乙商場的利潤更高為460元．

（3）設分配給甲商場a件，則分配給乙商場（1200-a）件，根據題意可得：
當a≥1000時，總利潤為：0.8a+2（1200-a）=-1.2a+2400，
當a＜1000時，總利潤為：0.8a+0.2（1200-a）+360=0.6a+600，
當-1.2a+2400=0.6a+600時，
解得：a=1000，
根據函數增減性可得：當a=1000時，總利潤最大，為1200元，
即分配甲商場1000件，乙商場200件，所獲利潤最大，為1200元．

點評 本題考查了一次函數圖象和性質，用待定系數法求一次函數的解析式的應用，能正確用待定系數法求出函數解析式是解此題的關鍵．