Question

【題目】定義：在線段MN上存在點P、Q將線段MN分為相等的三部分，則稱P、Q為線段MN的三等分點．

已知一次函數y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N，且A、C為線段MN的三等分點（點A在點C的左邊）．

（1）直接寫出點A、C的坐標；

（2）①二次函數的圖象恰好經過點O、A、C，試求此二次函數的解析式；

②過點A、C分別作AB、CD垂直x軸于B、D兩點，在此拋物線O、C之間取一點P（點P不與O、C重合）作PF⊥x軸于點F，PF交OC于點E，是否存在點P使得AP＝BE？若存在，求出點P的坐標？若不存在，試說明理由；

（3）在（2）的條件下，將△OAB沿AC方向移動到△O'A'B'（點A'在線段AC上，且不與C重合），△O'A'B'與△OCD重疊部分的面積為S，試求當S＝時點A'的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點A、C的坐標分別為：（1，2）、（2，1）；（2）①拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x；②P的坐標為：（，）；（3）點A′的坐標為：（，）

【解析】

（1）先求出M、N的坐標，再根據A、C為線段MN的三等分點，即可求解；

（2）①設函數的表達式為：y＝ax2+bx，將點A、C的坐標代入上式即可求解；

②設點P（m，﹣m2+m），AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，即可求解；

（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣（1﹣m）（）＝，即可求解．

解：（1）一次函數y＝﹣x+3的圖象與x、y軸分別交于點M、N，令x=0，y=3，則M的坐標為（0，3），令y=0，x=3，則N的坐標為（3，0），由A、C為線段MN的三等分點，則點A、C的坐標分別為：（1，2）、（2，1）；

（2）①設函數的表達式為：y＝ax2+bx，將點A、C的坐標代入上式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x；

②存在，理由：

設點P（m，﹣m2+m），

直線OC的表達式為：y＝x，則點B（1，），BE＝，

AP＝BE，則（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，

化簡得：7m2﹣15m+7＝0，

解得：m＝（舍去負值），

故點P的坐標為：（，）；

（3）設直線A′O′交OC于點H，交x軸于點G，直線A′B′交OC于點R，交x軸于點K，過點H作HE⊥A′B′于點E，

設點A向下平移m個單位向右平移m個單位得到A′（1+m，2﹣m），

設直線O′A′的表達式為：y＝2x+b，將點A′的坐標代入上式并解得：

直線O′A′的表達式為：y＝2x﹣3m①，

故點G（，0），則GK＝1+m﹣＝1﹣m，

直線OC的表達式為：y＝x②，

聯立①②并解得：x＝2m，故點H（2m，m），則HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，

點R（1+m，），則A′R＝2﹣m﹣（m+1）＝，

S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣·（1﹣m）＝，

解得：m＝，

故點A′的坐標為：（，）．