Question

【題目】如圖，正方形中，點是邊上的任一點，連接并將線段繞點順時針旋轉得到線段，在邊上取點使，連接.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）線段與交于點，連接，若，則與存在怎樣的數量關系？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BM=MC．理由見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△BCP全等；根據全等三角形對應邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）根據同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后得出△ABM和△MCQ相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，再證得△AMQ∽△ABM，根據相似三角形對應邊成比例可得，從而得到，即可得解．

解：（1）如圖，

在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM和△BCP中，

∴△ABM≌△BCP（SAS）．
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN
∴MN∥BP，MN =BP
∴四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）BM=MC．理由如下：

∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，

∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，

∴BM=MC．