Question

【題目】如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別是BE，CD的中點，

（1）求證：△AMN是等邊三角形．
（2）當把△ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=60°，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，
∴M，N分別是BE，CD的中點，
∴EM= BE，DN= CD， ∴EN=DN，
∴EM+AE=DN+AD，即AN=AM，
∵∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形
（2）解：CD=BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°．
∵∠BAE=∠BAC∠EAC=60°∠EAC，∠DAC=∠DAE∠EAC=60°∠EAC，∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ACD，∴CD=BE．
【解析】（1） 要證△AMN是等邊三角形，根據已知條件可知只需證明AN=AM，根據△ABC和△ADE是等邊三角形，得出BE=CD，再根據中點定義得出EN=DN， 就可證得AN=AM，根據一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，即可得證。
（2）CD=BE仍然成立，根據已知條件證明△ABE≌△ACD即可。