Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上的一點，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴CD= OD=2 ，

∴陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE

= ×2×2 ﹣

=2 ﹣

【解析】（1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據三角形外角性質得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CD= OD=2 ，然后利用陰影部分的面積=S△COD﹣S扇形DOE和扇形的面積公式求解．