Question

【題目】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代數式表示△MNP的面積S；

（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？

（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴△AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴AN＝x．

∴=．（0＜＜4）

（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，OD，則AO="OD" =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴，

∴．

過M點作MQ⊥BC于Q，則．

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA．

∴．

∴，

．

∴x＝．

∴ 當x＝時，⊙O與直線BC相切．

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，連結AP，則O點為AP的中點．

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴△AMO ∽△ABP．

∴． AM＝MB＝2．

故以下分兩種情況討論：

① 當0＜≤2時，．

② 當2＜＜4時，設PM，PN分別交BC于E，F．

∵ 四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN＝BM＝4－x．

∴．

又△PEF ∽△ACB．

∴．

∴．

＝．

【解析】

解：（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴， 即．

∴ AN＝x．

∴．……………………………… 2分

（2）如圖2，作OD⊥BC于點D，當OD =MN時，⊙O與直線BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴ MN=．

過M點作ME⊥BC 于點E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴當時，⊙O與直線BC相切． ………………… 4分

（3）隨點M的運動，當P點落在直線BC上時，如圖3，連結AP，則O點為AP的中點．

∵ MN∥BC，

∴，即 AM=MB=4．

故分以下兩種情況討論：

①當0＜≤4時，．

∴ 當=4時，．……………… 5分

②當4＜＜8時，如圖4，設PM、PN分別交BC于E、F．

∵ 四邊形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．

∴ FN=BM=8－x．

∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8．

又△PEF∽△ACB，∴．

∴．

∴＝ ．

∵ 二次項系數，且當時，滿足4＜＜8，

∴．…………………………………………………………………………… 6分

綜上所述，當時，值最大，最大值是8． …………………… 7分