Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（4，0），B（0，4），CD是△AOB的中位線．若將△COD繞點O旋轉，得到△C′OD′，射線AC′與射線BD′的交點為P．

（1）∠APB的度數是_____°．

（2）在旋轉過程中，記P點橫坐標為m，則m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】90°；

【解析】

（1）由SAS證得△BOD'△AOC'，可得∠C'AO=∠D'BO，因為∠BMP=∠AMO，可得∠APB=∠AOB=90°；

（2）點P在AB為直徑的⊙M上運動，過M作PM∥OA交⊙M于點P（在點M的左側），此時m的值最小；當BD′與⊙O相切時，m最大，分別求出對應m的值，即可得出m的取值范圍．

（1）如圖1，

∵A（4，0），B（0，4），

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∵CD是△AOB的中位線，

∴CO=DO=2=BD=AC，

∵將△COD繞點O旋轉，得到△C′OD′，

∴CO=DO，∠C'OD'=90°=∠AOB，

∴∠BOD'=∠AOC'，且C'O=D'O，AO=BO，

∴△BOD△AOC'（SAS）

∴∠C'AO=∠D'BO，

∵∠BMP=∠AMO，

∴∠APB=∠AOB=90°，

故答案為：90，

（2）如圖2，

∵∠BPA=90°，

∴點P在AB為直徑的⊙M上運動，

過M作PM∥OA交⊙M于點P（在點M的左側），此時m的值最小，

∵AB=4，DM=2，

∴PD=22，

∴m＝22．

如圖3，

∵OD′=OC′=2，

∴點D′，點C′在⊙O上運動，

當BD′與⊙O相切時，m最大，

此時BD′=，D′P=OC′=2，

∴BP=2+2，

∵OB4，OD′=2，

∴sin∠OBD′=，

∴m=BP＝+1，

∴22≤m≤+1．