Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C. 點D(2，3)在該拋物線上，直線AD與y軸相交于點E，點F是直線AD上方的拋物線上的動點.

（1）求該拋物線對應的二次函數關系式；

（2）當點F到直線AD距離最大時，求點F的坐標；

（3）如圖2，點M是拋物線的頂點，點P的坐標為(0，n)，點Q是坐標平面內一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是AM為邊的矩形.①求n的值；②若點T和點Q關于AM所在直線對稱，求點T的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3；（2）F（，）；（3）n=，T(0，-)或n=-，T(0，).

【解析】

（1）用待定系數法求解即可；

（2）作FH⊥AD，過點F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當S△FAD最大時，點F到直線AD距離FH最大，求出直線AD的解析式，設F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，表示出△FAD的面積，然后利用二次函數的性質求解即可；

（3）分AP為對角線和AM為對角線兩種情況求解即可.

解：（1）∵拋物線x軸相交于點A（－1，0），B（3，0），

∴設該拋物線對應的二次函數關系式為y=a(x+1)(x－3)，

∵點D（2，3）在拋物線上，

∴3=a×(2+1) ×(2－3)，

∴3=－3a，

∴a=－1，

∴y=－(x+1)(x－3)，

即y=－x2+2x+3；

（2）如圖1，作FH⊥AD，過點F作FM⊥x軸，交AD與M，易知當S△FAD最大時，點F到直線AD距離FH最大，

設直線AD為y=kx+b，

∵A(－1，0)，D(2，3)，

∴，

∴，

∴直線AD為y=x+1.

設點F的橫坐標為t，則F(t，－t2+2t+3)，M(t，t+1)，

∵S△FAD= S△AMF+ S△DMF=MF(Dx-Ax)

= ×3（－t2+2t+3-t-1）=×3(－t2+t+2)

=－(t－)2+，

∴即當t=時，S△FAD最大，

∵當x=時，y=－()2+2×+3=，

∴F(，)；

（3）∵y=－x2+2x+3=-(x-1)2+4，

∴頂點M(1，4).

當AP為對角線時，如圖2，

設拋物線對稱軸交x軸于點R，作PS⊥MR，

∵∠PMS+∠AMR=90°， ∠MAR+∠AMR=90°，

∴∠PMA=∠MAR，

∵∠PSM=∠ARM=90°，

∴△PMS∽△MAR，

∴，

∴，

∴MS=，

∴OP=RS=4+=，

∴n=；

延長QA交y軸于T，

∵PM∥AQ，

∴∠MPO=∠OAM，

∵∠MPS+∠MPO=90°， ∠OAT+∠OAM=90°，

∴∠MPS=∠OAT.

又∵PS=OA=1，∠PSM=∠AOT=90°，

∴△PSM≌△AOT，

∴AT=PM=AQ，OT=MS=.

∵AM⊥AQ，

∴T和Q關于AM對稱，

∴T(0，-)；

當AQ為對角線時，如圖3，

過A作SR⊥x軸，作PS⊥SR于S，作MR⊥SR于R，

∵∠RAM+∠SAP=90°， ∠SAP+∠SPA=90°，

∴∠RAM=∠SPA，

∵∠PSA=∠ARM=90°，

∴△PSA∽△ARM，

∴，

∴，

∴AS=，

∴OP=，

∴n=-；

延長QM交y軸于T，

∵QM∥AP，

∴∠APT=∠MTP，

∵∠OAP+∠APT=90°， ∠GMT+∠MTP=90°，

∴∠OAP=∠GMT.

又∵GM=OA=1，∠AOP=∠MGT=90°，

∴△OAP≌△GMT，

∴MT=AP=MQ，GT=OP=.

∵AM⊥TQ，

∴T和Q關于AM對稱，

∵OT=4+=，

∴T(0，).

綜上可知，n=，T(0，-)或n=-，T(0，).