Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB＝，BC＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切，理由見解析；（2）⊙O的半徑為

【解析】

（1）首先連接OE，由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可證得直線CE與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）首先易證得△CDE∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得DE的長，又由勾股定理即可求得AC的長，然后設(shè)OA為x，即可得方程，解此方程即可求得⊙O的半徑．

解：（1）直線CE與⊙O相切．…

理由：連接OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，

∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，

又∠DCE＝∠ACB，

∴∠DEC+∠DAC＝90°，

∵OE＝OA，

∴∠OEA＝∠DAC，

∴∠DEC+∠OEA＝90°，

∴∠OEC＝90°，

∴OE⊥EC，

∵OE為圓O半徑，

∴直線CE與⊙O相切；…

（2）∵∠B＝∠D，∠DCE＝∠ACB，

∴△CDE∽△CBA，

∴ ，

又CD＝AB＝，BC＝2，

∴DE＝1

根據(jù)勾股定理得EC＝，

又，…

設(shè)OA為x，則，

解得，

∴⊙O的半徑為．