Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC是長方形，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上且A(10，0)，C(0，6)，點D在AB邊上，將△CBD沿CD翻折，點B恰好落在OA邊上的點E處.

(1)求點E、點D的坐標；

(2)求折痕CD所在直線的函數表達式；

(3)請你延長直線CD交x軸于點F，點P是坐標軸上一點請直接寫出使S△CEP=S△COF的點P的坐標.

Answer 1

【答案】⑴E（8，0）、D(10，)；⑵CD所在直線的解析式為：y=-x+6；⑶點P的坐標為（2,0）或（14,0）或（0，）或（0，）．

【解析】

（1）由折疊的性質，可得CE=CB=10，在在直角△COE中，由勾股定理求得OE的長，確定E的坐標，設DA=x,則DE=6-x，AE=10-OE=2，運用勾股定理即可確定D的縱坐標，橫坐標與點A 相同；

（2）C（0，6），D（10，），利用待定系數法求CD所在直線的解析式；

（3）由（2）得到CD的解析式，令y=0，解得x=18，即F的坐標為（18，0），則△COF的面積為OC×OF；當P在x軸上，設P的坐標為（a，0），則三角形CEP的高為OC,底為8-a，那么面積為OC×（8-a）；當P在y軸上，設P的坐標為（0，b），則三角形CEP的高為OE,底為6-b，那么面積為OE×（6-b）；分別結合三角形COF的面積求解即可.

解：⑴由折疊的性質，可得CE=CB=10，∠CED=90°

又∵OC=6

∴OE=

∴EA=10-8=2

設DA=x,則DE=6-x，

在Rt△EDA中，由勾股定理得：

解得x=

∴E（8，0）、D(10，)；

⑵由題意得：C（0，6），D（10，）

設CD所在的函數解析式為y=kx+b

則有 解得

CD所在直線的解析式為：y=-x+6；

⑶如圖：

由（2）得CD的解析式y=-x+6；令y=0，解得x=18，即F的坐標為（18,0）

∴OF=18

∴△COF的面積為OC×OF=×6×18=54

∴S△CEP=S△COF=18

①當P在x軸上，設P的坐標為（a，0），則三角形CEP的高為OC,底為|8-a |，那么面積為OC×（8-a）=18，即×6×|8-a |=18，解得a=2或a=14，

∴P的坐標為（2,0）或（14,0）

②設P的坐標為（0，b），則三角形CEP的高為OE,底為6-b，

△CEP面積為OE×|6-b|=18；

即×8×|6-b|=18；

解得b=或b=

點P的坐標為（0，）或（0，）．

綜上，P的坐標為（2,0）或（14,0）或（0，）或（0，）．