Question

【題目】已知反比例函數y＝的圖象與一次函數y＝ax+b的圖象交于點A（1，4）和點B（m，﹣2），

（1）求這兩個函數的關系式；

（2）觀察圖象，寫出使得＞ax+b成立的自變量x的取值范圍；

（3）過點A作AC⊥x軸，垂足為C，在平面內有點D，使得以A，O，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出符合條件的所有D點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜1；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．

【解析】

（1）首先將A點坐標代入反比例函數，進而計算出k的值，再將B點代入反比例函數的關系式，求得參數m的值，再利用待定系數法求解一次函數的解析式.

（2）根據題意要使＞ax+b則必須反比例函數的圖象在一次函數之上，觀察圖象即可得到x的取值范圍.

（3）首先寫出A、C的坐標，再根據對角為OC、OA、AC進行分類討論.

解：（1）將A（1，4）代入y＝，得：4＝k，

∴反比例函數的關系式為y＝；

當y＝﹣2時，﹣2＝，解得：m＝﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，﹣2）．

將A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，

解得：，

∴一次函數的關系式為y＝2x+2．

（2）觀察函數圖象，可知：當x＜﹣2或0＜x＜1時，反比例函數圖象在一次函數圖象上方，

∴使得＞ax+b成立的自變量x的取值范圍為x＜﹣2或0＜x＜1．

（3）∵點A的坐標為（1，4），

∴點C的坐標為（1，0）．

設點D的坐標為（c，d），分三種情況考慮，如圖所示：

①當OC為對角線時， ，

解得： ，

∴點D1的坐標為（0，﹣4）；

②當OA為對角線時，

解得：

∴點D2的坐標為（0，4）；

③當AC為對角線時， ，

解得： ，

∴點D3的坐標為（2，4）．

綜上所述：以A，O，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，點D的坐標為（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．