Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣4ax﹣（a≠0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，這條拋物線的頂點為D．

（1）求點D的坐標．

（2）過點C作CE∥x軸交拋物線于點E．當CE＝2AB時，求點D的坐標．

（3）這條拋物線與直線y＝﹣x相交，其中一個交點的橫坐標為﹣1．過點P（m，0）作x軸的垂線，交這條拋物線于點M，交直線y＝﹣x于點N，且點M在點N的下方．當線段MN的長度隨m的增大而增大時，求m的取值范圍．

（4）點Q在這條拋物線上運動，若在這條拋物線上只存在兩個點Q，滿足S△ABQ＝3S△ABC，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(2，﹣4a﹣)；（2）(2，)；（3）﹣1＜m≤1；（4）0＜a＜或﹣＜a＜﹣．

【解析】

（1）將y＝ax2﹣4ax﹣化為頂點式即可寫出點D的坐標；

（2）由對稱軸方程x＝2及拋物線的對稱性可推出CE，AB的長，推出點A，B的坐標，將A或B的坐標代入y＝ax2﹣4ax﹣中，即可求出a的值，進一步寫出點D的坐標；

（3）先把x＝-1代入y＝﹣x中，求出交點坐標，代入y＝ax2﹣4ax﹣中，求出拋物線解析式，用含m的代數式分別表示出M，N的坐標，進一步表示出MN的長度，為二次函數，可根據增減性確定結果；

（4）分情況討論，當a＞0時和當a＜0時，分別列出不等式或不等式組即可．

（1）y＝ax2﹣4ax﹣

＝a（x﹣2）2﹣4a﹣，

∴點D的坐標為（2，﹣4a﹣）；

（2）∵對稱軸為直線x＝2，CE∥x軸，

∴CE＝4．

∵CE＝2AB，∴AB＝2，

∴點A、B的坐標為（1，0）、（3，0），

將（1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，

得，a﹣4a﹣＝0，

解得，a＝﹣，

∴﹣4a﹣＝4×（﹣）﹣＝，

∴點D的坐標為（2，）；

（3）把x＝-1代入y＝﹣x中，得y＝1，

將（﹣1，1）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，

得a+4a﹣＝1，

解得a＝，

∴y＝x2﹣2x﹣，

∴點M，N的坐標分別為（m，m2﹣2m﹣），（m，-m），

∴MN＝﹣m﹣（m2﹣2m﹣）＝﹣m2+m+，

∵﹣＜0，對稱軸為直線，

∴當線段MN的長度隨m的增大而增大時，m的取值范圍是﹣1＜m≤1；

（4）①當a＞0時，拋物線開口方向向上，

點C坐標為（0，﹣），

由（1）知，點D的縱坐標為﹣4a﹣，

∴由題意可列，﹣4a﹣＞﹣×3，

解得，a＜，

∴0＜a＜；

②當a＜0時，拋物線開口方向向下，

點C坐標為（0，﹣），

由（1）知，點D的縱坐標為﹣4a﹣，

∴由題意可列，，

解得，﹣＜a＜；

綜上所述，a的取值范圍為0＜a＜或﹣＜a＜．