Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），若過(guò)點(diǎn)D的直線截得的三角形與△ABC相似，并且平分△ABC的周長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)為____．

Answer 1

【答案】、 、

【解析】

根據(jù)直線平分三角形周長(zhǎng)得出線段的和差關(guān)系，再通過(guò)四種情形下的相似三角形的性質(zhì)計(jì)算線段的長(zhǎng).

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線與△ABC的另一個(gè)交點(diǎn)為E，

∵AC＝4，BC＝3，∴AB==5

設(shè)AD=x，BD=5-x，

∵DE平分△ABC周長(zhǎng)，∴周長(zhǎng)的一半為（3+4+5）÷2=6，

分四種情況討論：

①△BED∽△BCA，如圖1，BE=1+x

∴，即：，

解得x=，

②△BDE∽△BCA，如圖2，BE=1+x

∴，即：，

解得：x=，

BE=>BC，不符合題意.

③△ADE∽△ABC，如圖3，AE=6-x

∴，即，

解得：x=，

④△BDE∽△BCA，如圖4，AE=6-x

∴，即：，

解得：x=，

綜上：AD的長(zhǎng)為、 、 .