Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點，頂點在第一象限，點在該拋物線上.

（1）若點坐標為.

①求與的函數關系式；

②已知兩點，，當拋物線與線段沒有交點時，求的取值范圍；

（2）若點在該拋物線的曲線段上（不與點，重合），直線交軸于點，過點作軸于點，連接，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）①；②當或時，該拋物線與線段沒有交點.（2）詳見解析.

【解析】

（1）①將點P的坐標代入拋物線的解析式即可得；

②當拋物線與x軸的另一個交點在點N的左側或在點M的右側時，拋物線與線段MN均無交點.方法一：利用拋物線二次項系數與開口大小的關系求解；方法二：利用二次函數圖象的對稱性及對稱軸的位置列出不等式求解即可；

（2）如圖（見解析），過點作軸于點，根據拋物線的解析式可求出點D和A的坐標，從而可知DH和AH的長，再設點P的坐標為，求出PD所在直線的解析式，從而求得點C的坐標，也就可以得知OC和OB的長，由此可得，根據相似三角形的判定定理與性質可得，最后根據平行線的判定定理即可.

（1）①∵拋物線經過

故b與a的函數關系式為：

② 由（1）得

方法一，有兩種情況：

（Ⅰ）當點與點重合時

，解得

越大，拋物線開口越小

∴當時，拋物線與線段沒有交點

（Ⅱ）當點與點重合時

，解得

越小，拋物線開口越大，且

∴當時拋物線與線段沒有交點

綜上所述，當或時，該拋物線與線段沒有交點；

方法二，有兩種情況：

（Ⅰ）當拋物線與軸的另一個交點在點左側時，拋物線與線段沒有交點

∵拋物線開口向下，經過原點且頂點在第一象限，對稱軸為

解得

（Ⅱ）當拋物線與軸的另一個交點在點右側時，拋物線與線段沒有交點

解得

綜上所述，當或時，該拋物線與線段沒有交點；

（2）如圖，過點作軸于點

∵拋物線的頂點

當時，

∴ 點，

設直線為：，，則

將點P和D的坐標代入得：，解得：

則直線為：

又

.