Question

【題目】如圖①，為坐標原點，點在軸的正半軸上，四邊形是四邊形，，反比例函數在第一象限內的圖像經過點，與交于點

(1)若，求反比例函數解析式；

(2)若點為的中點，且的面積，求的長和點的坐標；

(3)在(2)中的條件下，過點作，交于點(如圖②)，點為直線上的一個動點，連接，是否存在這樣的點，使以為頂點的三角形的直角三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；C(，)；(3) P或.

【解析】

（1）根據sin∠AOB=，OA=5，可知點A的坐標，代入解析式求解．

（2）根據反比例函數″k″的幾何意義，轉化三角形的面積，列式求解即可．

（3）分兩種情況，以A為直角頂點和以O為直角頂點，構造″K″字形相似，列出比例關系可以求出點P的坐標．

解：(1) 過點作于，

∵，，

點坐標為，

反比例函數解析式：

(2)設，如圖2，過點作軸于，過點C作CN⊥x軸于點N，

由平行四邊形性質可知OH=BN，

∵sin∠AOB=，

，

，

∵S△AOF=12，

∴S四邊形AOBC=24，

∵F為BC的中點，

∴S△OBF=6，

，

，

，

，

∵S四邊形AOBC=24，

(3) 存在兩種情況，

①A為直角頂點，如圖3所示，

），點F為BC中點，

∴點F的縱坐標為，

∵EF∥OB，點P在直線EF上，

∴點P的縱坐標為，

過點P作PM⊥AC于點M，過點A作AN⊥y軸于點N，

則PM=，

∵∠OAP=90°，

∴△OAN∽△APM，

，即，

，

，

.

②以O為直角頂點時，如圖4所示，

過點P作PN⊥x軸于點N，過點A作AM⊥x軸于點M，

則，

∵∠AOP=90°，

則△PON∽△AOM，

，即，

，

∴點P，

綜上所述：點P或.