Question

【題目】四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF，連接DF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC．

（1）問題發現：如圖1，若點E在CB的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關系及的值；

（1）操作探究：將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉至圖2所示位置，請問（1）中所得的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（2）解決問題：將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉，若BE＝1，AB＝，當E，F，D三點共線時，請直接寫出CE的長．

Answer 1

【答案】（1），；（2）成立，理由見解析；（3）或

【解析】

（1）過G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H為EC中點，根據梯形的中位線求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根據直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可．

（2）延長EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過E作BC的垂線EM，延長CD，證△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，證出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案．

（3）分類討論，畫出圖形,根據勾股定理，即可求出EC的長度．

（1）EG⊥CG，，理由是：

如圖1，過G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC．

∵G為DF中點，∴H為EC中點．

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC．

∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形．

∴

（2）結論還成立，理由是：

如圖2，延長到，使，連接、，

∵在和中

∴，

∴，，

∵

∴

∵

∴

在和中

∴．

∴，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∵為的中點，

∴，，即（1）中的結論仍然成立；

（3）或 理由如下：

當△BEF在BC的上方時，連接BD，CE

∵在正方形ABCD，AB=AD=，

∴BD=．

∴DE=

∴DF=DE-EF=．

由（1）可知∠EGC=90°

∴CG⊥FD

∵G為FD中點

∴CG垂直平分FD

∴

∴

在Rt△DGC中,

在Rt△ECG中,

當△BEF在BC的上方時，連接BD，CE

在正方形ABCD中， ，∠ABC=90°

∴∠EBC=90°

在Rt△EBC中，

故EC的長為 或

故答案為: 或